LeGauss Teste: Teste Matemática

Chamamos de Matriz de Vandermonde uma matriz da forma

Agora, suponha que a nossa afirmação vale para n-1

. Queremos calcular

A transposta desta matriz é também denominada da mesma forma. Neste artigo, vamos provar que

$det(M) = \prod\limits_{i%3Cj}(a_j-a_i)$

Poucos requisitos são necessários para compreender esta demonstração. Você precisa saber que:

Somar um múltiplo de uma coluna (recip. linha) em outra coluna (recip. linha) não altera o determinante.

Se todas as entradas de uma coluna estão multiplicadas por

, então "

sai pra fora do determinante".

Expandir um determinante por linha ou coluna.

Clique aqui, caso tenha alguma dúvida sobre as propriedades acima.

A demonstração deste fato segue por indução em

. A base de indução, n=2

, é fácil:

$\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ a_1 & a_2 \end{array}\right|= a_2 - a_1$

Agora, suponha que a nossa afirmação vale para n-1

. Queremos calcular

$\left|\begin{array}{llll} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{array}\right|$

Multiplicando a primeira coluna por

e somando em todas as outras colunas, teremos

$\left|\begin{array}{llll} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_1 & a_2 -a_1 & \cdots & a_n-a_1 \\ a_1^2 & a_2^2 -a_1^2 & \cdots & a_n^2-a_1^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1}-a_1^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1}-a_1^{n-1} \end{array}\right|$

Agora, nosso objetivo é zerar todos os termos abaixo do

. Para isso, faremos o seguinte: multiplicar a linha

por

e somar com a linha k+1

. Feito isso para todo $k=1,\ldots,n-1$ , ficaremos com

$\left|\begin{array}{llll} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 -a_1 & \cdots & a_n-a_1 \\ 0 & a_2^2 -a_2a_1 & \cdots & a_n^2-a_na_1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_2^{n-1}-a_2^{n-2}a_1 & \cdots & a_n^{n-1}-a_n^{n-2}a_1 \end{array}\right|= \left|\begin{array}{llll} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 -a_1 & \cdots & a_n-a_1 \\ 0 & a_2(a_2 -a_1) & \cdots & a_n(a_n-a_1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_2^{n-2}(a_2-a_1) & \cdots & a_n^{n-2}(a_n-a_1) \end{array}\right|$

Se você não entendeu esta passagem, faça para um caso pequeno, n=4

, por exemplo. Prosseguindo, podemos colocar os (a_i - a_1)

em evidência,

$(a_2-a_1)\cdots(a_n-a_1)\left|\begin{array}{llll} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & a_2 & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_2^{n-2} & \cdots & a_n^{n-2} \end{array}\right|$

Expandindo este determinante pela primeira linha (ou coluna, tanto faz), aplicamos a hipótese de indução e obtemos

$\prod\limits_{i%3Cj}(a_j-a_i)$

Até.

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sexta-feira, 12 de março de 2010

Teste Matemática

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